【GMAT数学基礎講座】約数

GMAT数学基礎コーナーでは、単元別のポイントを例題を交えてまとめていきます。

受験生のみなさまが効率良くポイントで復習できることを目指しています。

本コーナーは全部終了後書籍化予定です。今回は「約数」問題の解き方です。

約数問題の解説

1.2 約数(Factors) 約数とは ある整数を割り切ることのできる整数を、その整数の約数(factor, divisor) という。 素因数分解とは 素因数分解(prime factorization) とは、整数を素数の積で表すこと。 素因数分解を行う手順は以下である。 1. 小さい素数で順に割り、商を下に書いていく。 2. 商が素数になれば、割り算をやめる。 3. 左側と下に並ぶ数の積を作る。 約数の求め方 ある整数の約数を求めるには、以下の2 つの方法がある。 1. ある整数の約数を小さい順に考え、積がその数になるペアを考える。 2. 素因数分解で計算した素因数の積の組み合わせを求める。 具体例 60 のすべての約数を求める 解法1 60 の因数を小さい順に並べ、積が60 になるペアを作っていくと以約数の数がわかる。 GMAT では同じ数のペアで奇数になる場合を利用した問題が出題されるので注意。 解法2 60 = 22 35 と素因数分解できる。約数を作るにあたり、最大2 を2 個、3 を1 個、5 を1 個使え る組み合わせを全て考えると12 通りある。 (2 の個数; 3 の個数; 5 の個数) (1.2) (0; 0; 0) =) 20  30  50 = 1 (1; 0; 0) =) 21  30  50 = 2 (2; 0; 0) =) 22  30  50 = 4 (0; 1; 0) =) 20  31  50 = 3 (1; 1; 0) =) 21  31  50 = 6 (2; 1; 0) =) 22  31  50 = 12 (0; 0; 1) =) 20  30  51 = 5 (1; 0; 1) =) 21  30  51 = 10 (2; 0; 1) =) 22  30  51 = 20 (0; 1; 1) =) 20  31  51 = 15 (1; 1; 1) =) 21  31  51 = 30 (2; 1; 1) =) 22  31  51 = 60 (1.3) 約数の数の求め方 素因数分解後、それぞれの素数の個数に1 を加えたものを掛け合わせる。つまり、ある数の素 因数分解がN = pa  qb  rc     (p; q; r は素数) である場合の約数の数は以下の通り。 (N の約数の数) = (a + 1)(b + 1)(c + 1)    (個) (1.4) 解説 「約数の求め方」の解法2 と同様、下記Nの約数の数の求め方を考える。 N = pa  qb  rc     (1.5) N の約数は、最大p をa 個(0~a のa + 1 通り)、q をb 個(0~b のb + 1 通り)、r をc 個(0~c の c + 1 通り)   を選び、掛け合わせる。場合の数より、N の約数の数を算出できる。 (a + 1)(b + 1)(c + 1)    (通り) (1.6) 例えば、「約数の求め方」の解法2 の例では、60 は、以下の通り素因数分解できる。 60 = 22  31  51 (1.7) (N の約数の数) に当てはめると、a = 2; b = 1; c = 1 となり、約数の数を計算することが出来る。 (a + 1)(b + 1)(c + 1) = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12 (個) (1.8)

約数の確認問題

1.2 約数(Factors) 15 約数-確認問題1(PS問題)  For each of the following numbers, nd the prime factorization and all of its factors. (A) 96 (B) 110 (C) 147 (D) 169 (E) 182 (F) 225   約数-確認問題2  If x is a prime number, what is the number of distinct positive factors of each of following numbers? (A) 96 (B) 110 (C) 147 (D) 169 (E) 182 (F) 225   16 第1 章計算 約数-確認問題1  次の各数に対して、素因数分解をし、すべての約数を求めよ。 (A) 96 (B) 110 (C) 147 (D) 169 (E) 182 (F) 225   (A) 素因数分解: 96 = 25  3 =) 約数: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 32; 48; 96 (B) 素因数分解: 110 = 2  5  11 =) 約数: 1; 2; 5; 10; 11; 22; 55; 110 (C) 素因数分解: 147 = 3  72 =) 約数: 1; 3; 7; 21; 49; 147 (D) 素因数分解: 169 = 132 =) 約数: 1; 13; 169 (E) 素因数分解: 182 = 2  7  13 =) 約数: 1; 2; 7; 13; 14; 26; 91; 182 (F) 素因数分解: 225 = 32  52 =) 約数: 1; 3; 5; 9; 15; 25; 45; 75; 225 約数-確認問題2  x は素数であるする。次の各値の約数の数を求めよ。 (A) 60 (B) 84 (C) 144 (D) 180 (E) 205 (F) 336 (G) x5   (A) 素因数分解: 60 = 22  3  5 =) 約数の数: (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12 個 (B) 素因数分解: 84 = 22  3  7 =) 約数の数: (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12 個 (C) 素因数分解: 144 = 24  32 =) 約数の数: (4 + 1)(2 + 1) = 15 個 (D) 素因数分解: 180 = 22  32  5 =) 約数の数: (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18 個 (E) 素因数分解: 205 = 5  41 =) 約数の数: (1 + 1)(1 + 1) = 4 個 (F) 素因数分解: 336 = 24  3  7 =) 約数の数: (4 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 20 個 (G) 素因数分解: x5 =) 約数の数: 5 + 1 = 6 個(1; x; x2; x3:x4; x5)

約数の実際のGMAT問題

1.2 約数(Factors) 17 約数-基礎問題1(PS問題)  If n = 10s, where s is a prime number greater than 5, how many different positive even divisors does n have? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10   18 第1 章計算 約数-基礎問題1(PS問題)  5 より大きい素数s を用いて、n = 10s とした時、n はいくつの異なる偶数の約数を持っている か? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10   ポイント 偶数の約数を書き出すことが出来るかどうか。 解説 n は下記の式で表せる。 n = 10s = 2  5  s (1.9) 偶数の約数を作るためには必ず2 を因数として持たなければならない。5 より大きい素数s は必ず奇 数であるため、n の偶数の約数は、 2 2  5 = 10 2  s = 2s 2  5  s = 10s の4 つとなり、答えは(B) となる。 1.2 約数(Factors) 19 約数-基礎問題2(DS問題)  If n is an integer, is 55 + n 3n an integer? (1) n > 4 (2) n2 = 25   約数-基礎問題2(DS問題)  n が整数であるとすると、 55 + n 3n は整数と言えるか? (1) n > 4 (2) n2 = 25   ポイント 55 + n 3n が整数であるためには、分子(55 + n) が分母(3n) を約数に持つかどうかを確認すればよい。 また、条件(2) のn2 = 25 を、n = 5 とせずにきちんとn = 5 と考えられたかどうか(これが考え られていないと、(B) を正解としてしまう。) 解説 (ステップ1) 質問文に条件(1) のみを加えて考えてみる。 n に具体的な整数を当てはめてみる。 n = 5 の時、 55 + n 3n = 55 + 5 3  5 = 60 3  5 = 20 5 = 4 となり整数。 n = 6 の時、 55 + n 3n = 55 + 6 3  6 = 61 3  6 となり、61 は整数でない。 55 + n 3n は整数かどうか確定できず、質問文に解答するのに、条件(1) のみでは不十分。 (ステップ2) 質問文に条件(2) のみを加えて考えてみる。n の値は下記の2 つであるので、それぞ れの場合について検証してみる。 n2 = 25 () n = 5 (1.10) n = 5 の時、 55 + n 3n = 55  5 3  (5) = 50 3  (5) = 10 35 = 4 となり整数でない。 n = 5 の時、 55 + n 3n = 55 + 5 3  5 = 60 3  5 = 20 5 = 4 となり整数。 55 + n 3n は整数かどうか確定できず、質問文に解答するのに、条件(2) のみでは不十分。 (ステップ3) 質問文に条件(1) と(2) を両方加えて考えてみる。 条件(1)、条件(2) より、n = 5 と定まる。この時、 55 + n 3n = 4 は必ず整数であるので、質問 文に解答するのに、条件(1), (2) の両方が揃った場合には十分といえる。 よって、答えは(C)。 1.2 約数(Factors) 21 約数-応用問題1(PS問題)  If n = 540p, where p is a prime number, which of the following could NOT be the number of different positive divisers of n? (A) 30 (B) 32 (C) 36 (D) 42 (E) 48   22 第1 章計算 約数-応用問題1(PS問題)  p を素数としてn = 540p とした時、次のうちどれがn の約数の数となりえないか? (A) 30 (B) 32 (C) 36 (D) 42 (E) 48   ポイント 約数の個数を求める公式を理解しているかどうかの確認。 また、「could Not be」問題なので、n の約数の数として取る可能性のある数を考え、それに該当し ない数字を選択肢から選ぶという、問題パターンを理解しているかどうかの確認。 解説 n を素因数分解すると、下記の通り。 n = 540p = 22  33  5  p (1.11) p は、素数という情報しか与えられていないので、2; 3; 5 の値をとるかも知れないし、それ以外の素 数となるかも知れない。場合分けして考えてみる。 p = 2 の時、n = 23  33  5 =) 約数の数: (3 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 32 個 p = 3 の時、n = 22  34  5 =) 約数の数: (2 + 1)(4 + 1)(1 + 1) = 30 個 p = 5 の時、n = 22  33  52 =) 約数の数: (2 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 36 個 p が2; 3; 5 以外の素数の時、n = 22  33  5  p =) 約数の数: (2 + 1)(3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 48 個 よって、約数の数となりえない値を選択肢から選ぶと、答えは(D) となる。 1.2 約数(Factors) 23 約数-応用問題2(PS問題)  If p is the smallest positive integer such that 2; 520p has an odd number of factors, then p must be (A) 50 (B) 70 (C) 90 (D) 110 (E) 130   24 第1 章計算 約数-応用問題2(PS問題)  もしp を2; 520p が奇数個の因数を持つような最小の正の整数であるとすると、p はどの選択肢 でなければならないか? (A) 50 (B) 70 (C) 90 (D) 110 (E) 130   ポイント 「約数の求め方」で述べた通り、x2 の形になるケース(= 平方数) のみ、約数の数が奇数になること に気付いたかどうか。 解説 2; 520p が奇数個の約数を持つとは、2; 520p が平方数ということだ。素因数分解すると下記の通り。 2; 520p = 23  32  5  7  p (1.12) 平方数であるためには、各素因数の指数が偶数である必要があり、そのような最小値をp と表す。 p = 2  5  7 = 70 (1.13) 上記の式に当てはめると、確かに約数の数は、奇数個である。 2; 520p = 23  32  5  7  (2  5  7) = 24  32  52  72 (1.14) (4 + 1)(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 135 (個) (1.15) よって、p = 70 が求めたい値であり、答えは(B) となる。 1.2 約数(Factors) 25 約数-応用問題3(PS問題)  If x is the product of the integers from 1 to 50, inclusive, what is the greatest integer n for which 3n is a factor of x? (A) 15 (B) 16 (C) 18 (D) 20 (E) 22   26 第1 章計算 約数-応用問題3(PS問題)  もし、x を1 から50 (50 を含む) の整数の積であるとすると、3n がx の約数となような最大の 整数n はいくらか? (A) 15 (B) 16 (C) 18 (D) 20 (E) 22   ポイント 本問はx を素因数分解した時の3 の指数を求める問題であるが、言い換えると、x は3 で何回割り切 れるかをカウントすればよい。 解説 問題文より、x は下記の式で表せる。 x = 1  2  3  4      49  50 (1.16) 1 から50 の整数で、3 の倍数は、以下より16 個あるといえる。 50  3 = 16 余り2 (1.17) 同様に、1 から50 の整数で、32 = 9 の倍数は、以下より5 個あるといえる。 50  9 = 5 余り5 (1.18) また、1 から50 の整数で、33 = 27 の倍数は、以下より1 個あるといえる。 50  27 = 1 余り23 (1.19) 最後に、1 から50 の整数で、34 = 81 の倍数は、存在しない事が分かる。 50  81 = 0 余り50 (1.20) つまり、1 から50 の整数で、34; 35; 36;    の倍数は存在しない。 16 + 5 + 1 = 22 (1.21) x は、3 で22 回割れる事が分かるので、答えは(E) となる。1.2 約数(Factors) 27 約数-応用問題4(DS問題)  If n is an integer, then n is divisible by how many positive integers? (1) 2  n  100 (2) n = 3p + 2, where p is an integer.   28 第1 章計算 約数-応用問題4(DS問題)  もし、n が整数であるとすると、n はいくつの正の整数で割り切ることが出来るか? (1) 2  n  100 (2) n = 3p + 2, where p is an integer.   ポイント 「n はいくつの正の整数で割り切ることが出来るか?」という質問文は、「n の約数の数はいくつか?」 とイコールであると気付くかどうか。そしてn = 3p + 2 にp = 1; 2; 3;    と代入していってもしば らくn が素数となるので、n を調べていくことが出来るか? 解説 (ステップ1) 質問文に条件(1) のみを加えて考えてみる。 n に具体的な整数を考えてみる。 n = 2 の時、n は素数なので、n の約数は1; 2 の2 個 n = 4 の時、n = 22なので、n の約数は1; 2; 4 の3 個 n の約数の数を確定できないため、質問文に解答するのに、条件(1) のみでは不十分。 (ステップ2) 質問文に条件(2) のみを加えて考えてみる。 n = 3p + 1 にp = 1; 2; 3;    と代入していく。 p = 1 の時、n = 3 + 2 = 5 は素数なので、n の約数は1; 5 の2 個 p = 2 の時、n = 32 + 2 = 11 は素数なので、n の約数は1; 11 の2 個 p = 3 の時、n = 33 + 2 = 29 は素数なので、n の約数は1; 29 の2 個 p = 4 の時、n = 34 + 2 = 83 は素数なので、n の約数は1; 83 の2 個 p = 5 の時、n = 35 + 2 = 245 = 5  72なので、n の約数は(1 + 1)(2 + 1) = 6 より6 個 n の約数の数を確定できないため、質問文に解答するのに、条件(2) のみでは不十分。 (ステップ3) 質問文に条件(1) と(2) を両方加えて考えてみる。 条件(1)、条件(2) より、n の値は、n = 5; 11; 29; 83 のみ、つまりp = 1; 2; 3; 4 の場合のみで ある。この場合はいずれも素数であるので、n の約数は2 個となり、質問文に解答するのに、 条件(1), (2) の両方が揃った場合には十分であるといえる。 よって、答えは(C)。

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