【GMAT数学基礎講座】倍数

GMAT数学基礎コーナーでは、単元別のポイントを例題を交えてまとめていきます。

受験生のみなさまが効率良くポイントで復習できることを目指しています。

本コーナーは全部終了後書籍化予定です。今回は「倍数」問題の解き方です。

倍数問題の解説

1.3 倍数(Multiples) 倍数とは ある数を整数倍してできる数を、その数の倍数(multiple) という。 倍数の個数 1 からn までの整数の中にあるa の倍数の個数は、n  a の商の値になる。 倍数の確認法 n を素因数分解し、その素数または素数を掛け合わせた数がa となる時、n はa の倍数となる。 具体例 360 は15 または27 の倍数であるかどうかを確かめる。 解法 360 = 23  32  5 (1.22) と素因数分解できる。 360 は、3  5 を因数に持つので15 の倍数であり、33 は因数に持たないので、27 の倍数でないこと が確認できた。 倍数の判定法 ある整数が何の倍数になるかは以下の方法によって見分ける。 1. 下□ 桁で判断 2 の倍数:下1 桁が偶数(0 の場合も含む) 4 の倍数:下2 桁が4 の倍数(00 の場合も含む) 5 の倍数:下1 桁が0 または5 8 の倍数:下3 桁が8 の倍数(000 の場合も含む) 2. 各位の数の和で判断 3 の倍数:各位の数の和が3 の倍数 9 の倍数:各位の数の和が9 の倍数 3. 特定の位の数の和同士の差で判断 11 の倍数:一の位から左に向かって奇数番目の位の数の和と、偶数番目の位の数の和の 差が11 の倍数または0 また、上の判定法を組み合わせることで、倍数を判定することが出来ることもある。例えば、6 の倍数を見分けたい場合は、2 の倍数かつ3 の倍数であればよいので、2 の倍数の条件と3 の 倍数の条件を両方満たせば良いということになる。 解説 1. 下□ 桁で判断 下□ 桁で判断できる理由は、それより大きい桁は下記のとおり無視できるからだ。 10  2 = 5 =) 10 の位より大きい位の数は2 で割り切れる。 100  4 = 25 =) 100 の位より大きい位の数は4 で割り切れる。 10  5 = 2 =) 10 の位より大きい位の数は5 で割り切れる。 1000  8 = 125 =) 1; 000 の位より大きい位の数は8 で割り切れる。(1.23) 2. 各位の数の和で判断 具体例で考えよう。例えば、14; 526 の場合、下記のように考えればよい。 14; 526 = 1  10; 000 + 4  1; 000 + 5  100 + 2  10 + 6 = 1  (9; 999 + 1) + 4  (999 + 1) + 5  (99 + 1) + 2  (9 + 1) + 6 = 1  9; 999 + 4  999 + 5  99 + 2  | {z 9} 3 の倍数でもあり9 の倍数でもある +(1 + 4 + 5 + 2 + 6) | {z } 各位の数の和 (1.24) 3. 特定の位の数の和同士の差で判断 証明のため、1 の後ろに0 が奇数個または偶数個ある場合を考えよう。  1 の後ろに0 が奇数個ある数の場合 10 = |1{1z} 11 の倍数 1 1; 000 = 9|90{+z 11} 11 の倍数 1 = 1; 001 | {z } 11 の倍数 1 100; 000 = 9|9; 99{0z+ 11} 11 の倍数 1 = 100; 001 | {z } 11 の倍数 1 (以下同様) 1 0|0 {z 00} ゼロが奇数個 = 9|9 {z 99} 9 が偶数個 0 + 11 | {z } 11 の倍数 1 = 1 0|0 {z 00} 0 が偶数個 1 | {z } 11 の倍数 1 (1.25)  1 の後ろに0 が偶数個ある数の場合 100 = |9{9z} 11 の倍数 +1 10; 000 = 9|;{9z99} 11 の倍数 +1 = 1; 000; 000 = 9|99{;z999} 11 の倍数 +1 (以下同様) 1 0|0 {z 00} ゼロが偶数個 = 9|9 {z 99} 9 が偶数個| {z } 11 の倍数 +1 (1.26) 上記を利用すると、例えば、192; 126 の場合、以下の通りとなる。 192; 126 = 1  100; 000 + 9  10; 000 + 2  1; 000 + 1  100 + 2  10 + 6 = 1  (100; 001  1) + 9  (9; 999 + 1) + 2  (1; 001  1) + 1  (99 + 1) + 2  (11  1) + 6 = (1  100; 001 + 9  9; 999 + 2  1; 001 + 1  99 + 2  11) | {z } 11 の倍数 +(1 + 9  2 + 1  2 + 6) = f1  (11  9; 091) + 9  (11  909) + 2  (11  91) + 1  (11  9) + 2  (11  1)g | {z } 11 の倍数 + f(9 + 1 + 6)  (1 + 2 + 2)g | {z } 奇数番目の位の数の和と偶数番目の位の数の和の差 (1.27) そして、192; 126 が11 の倍数かどうかは、以下の部分が11 の倍数かどうかで判定できる。 f(9 + 1 + 6)  (1 + 2 + 2)g | {z } 奇数番目の位の数の和と偶数番目の位の数の和の差

倍数の確認問題

倍数-確認問題1  For each of the following, is x a multiple of y? (A) x = 160; y = 7 (B) x = 21; y = 189 (C) x = 124; y = 124 (D) x = 195; y = 13 (E) x = 0; y = 13   倍数-確認問題2  For each of the following, is x a multiple of y? (A) x = 104; 252; y = 4 (B) x = 253; 432; y = 9 (C) x = 364; 248; y = 8 (D) x = 5; 496; 458; y = 11 (E) x = 424; 235; y = 5 (F) x = 281; 472; y = 12   倍数-確認問題1  次の各選択肢において、x はy の倍数であると言えるか? (A) x = 160; y = 7 (B) x = 21; y = 189 (C) x = 124; y = 124 (D) x = 195; y = 13 (E) x = 0; y = 13   英語表現 multiple 倍数。「X is a multiple of Y」で「X はY の倍数」という意味。つまり、「X はY で割り 切れる(divisible)」ということと等しい。 解説 x がy の倍数であるかどうかをチェックするので、x  y の余りが0 ならx はy の倍数と言える事に 注意する(y  x と間違えない事)。 (A) 160  7 = 22 余り6 と割り切れないので、x はy の倍数でない。 (B) 21  189 = 0 余り21 と割り切れないので、x はy の倍数でない。 (C) 124  124 = 1 と割り切れるので、x はy の倍数。 (D) 195  13 = 15 と割り切れるので、x はy の倍数。 (E) 0  13 = 0 と割り切れるので、x はy の倍数。 =) 全ての整数の倍数に0 は必ず含まれる。(1.29)

倍数の実際のGMAT問題

倍数-基礎問題1 (PS問題)  What is the least positive integer that is divisible by each of the even integers between 1 and 10, inclusive? (A) 60 (B) 120 (C) 960 (D) 1; 920 (E) 3; 840   倍数-基礎問題1 (PS問題)  1 と10 の間(1 と10 を含む) の偶数の各整数で割り切れる最小の正の整数はいくらか? (A) 60 (B) 120 (C) 960 (D) 1; 920 (E) 3; 840   英語表現 between A and B A とB の間という意味。通常「between A and B」は「A<~<B」と両端A, B を含まない事を意味している。しかし、「between A and B, inclusive」と書くと「A~B」 と両端A, B を含む事を意味することに注意。 divisible 割り切れる。 ポイント 基礎事項のまとめにある「倍数の確認法」を理解できているかどうかの確認。 解説 1 と10 の間の数の偶数は、2; 4; 6; 8; 10 であり、これらを素因数分解すると、以下の通りとなる。 2 = 2 4 = 22 6 = 2  3 8 = 23 10 = 2  5 (1.30) 素数に注目し、2; 4; 6; 8; 10 の正の倍数となるの条件を考える。 素数2 に注目すると、23の倍数である必要がある。 素数3 に注目すると、3 の倍数である必要がある。 素数5 に注目すると、5 の倍数である必要がある。 よって、2; 4; 6; 8; 10 は、2; 3; 5 以外に因数を持たないので、 23  3  5 = 8  3  5 = 120 (1.31) を因数に持てば十分であることが分かり、答えは(B) となる。 倍数-基礎問題2 (PS問題)  If the positive integers p and q are each a multiple of 6, then pq must be a multiple of which of the following? I. 3 II. 18 III. 54 (A) I only (B) III only (C) I and II only (D) II and III only (E) I, II, and III   倍数-基礎問題2 (PS問題)  もし、正の整数p とq がどちらも6 の倍数である時、pq は次のどの倍数とならなければならな いか? I. 3 II. 18 III. 54 (A) I のみ(B) III のみ(C) I とII のみ(D) II とIII のみ(E) I とII とIII   ポイント 基礎事項のまとめにある「倍数の確認法」を理解できているかどうかの確認。 また、「must be」問題なので、pq が常に選択肢の倍数となるものを考えなければならない。 解説 p とq はどちらも正の6 の倍数であるので、正の整数m; n を用いて、以下のように表せる。 p = 6m q = 6n (1.32) pq = (6m)  (6n) = (2  3  m)  (2  3  n) = 22  32  (mn) (1.33) これを用いて、pq が常にI~III の倍数となるかどうかを確かめよう。  I について pq = 3  { 22  3  (mn) } (1.34) となるので、pq は常に3 の倍数となる。  II について pq = 2  32  f2  (mn)g = 18  f2  (mn)g (1.35) となるので、pq は常に18 の倍数となる。  III について 54 = 2  33 (1.36) と素因数分解できる。 pq = 22  32  (mn) (1.37) より、mn が3 を因数として持てばpq は54 の倍数となるが、mn が3 を因数として持たなけ ればpq は54 の倍数とならない。よって、pq は常に54 の倍数となるとは限らない。 以上より、pq は常にI とII の倍数となることが言えたので、答えは(C) となる。倍数-応用問題1 (PS問題)  If the two-digit integers P and Q are positive and have the same digits, but in reverse order, which of the following could be the sum of P and Q? (A) 60 (B) 62 (C) 64 (D) 66 (E) 68   倍数-応用問題1 (PS問題)  もし、2 桁の整数P とQ が正で、同じ数字で構成されているが、順序が逆であるとすると、次 のうちどれがP とQ の合計となり得るか? (A) 60 (B) 62 (C) 64 (D) 66 (E) 68   ポイント 問題文をどのように定式化するか? また、「could be」問題なので、選択肢の条件を満たすP;Q を 1 組でも見つけることが出来れば、その選択肢が答えとなる。 解説 P の十の位の数をx、一の位の数をy と置き、以下のように表せる。 P = 10x + y Q = 10y + x (1.38) そして、P とQ の合計値を考える。 P + Q = (10x + y) + (10y + x) = 11x + 11y = 11(x + y) (1.39) よって、P + Q の値は少なくとも11 の倍数である必要があり、選択肢を見ると11 の倍数は、選択 肢(D) のみなので、答えは(D) となる。 補足 選んだ選択肢が正しいか逆算してみる。P とQ の合計値が選択肢(D) 66 となる時、 P + Q = 11(x + y) = 66 () x + y = 6 (1.40) となるので、例えば(x; y) = (2; 4) とすると、P = 24;Q = 42 となるが、確かに、 P + Q = 24 + 42 = 66 (1.41) が成立し、選択肢を満たすようなP;Q が存在することが確認できる。倍数-応用問題2 (DS問題)  The number N is "5; 4A2", the tens digit being represented by A. What is the value of A? (1) N is divisible by 4. (2) N is divisible by 9.  倍数-応用問題2 (DS問題)  数N を"5; 4A2"とする。ここで、10 の位はA と表されている。A の値はいくらか? (1) N は4 で割り切れる。 (2) N は9 で割り切れる。   英語表現 tens digit 十の位の数。ちなみに、小数第一位の数は「tenths digit」と言うので、混同しない事。 ポイント 倍数判定法を暗記していることの確認。 解説 (ステップ1) 質問文に条件(1) のみを加えて考えてみる。 「下2 桁が4 の倍数」であるので、下2 桁"A2"が4 の倍数であれば条件(1) を満たす。この様 な数には、以下の値が存在する。 A2 = 12; 32; 52; 72; 92 (1.42) A は1; 3; 5; 7; 9 の可能性がある為、質問文を解答するのに、条件(1) のみでは不十分。 (ステップ2) 質問文に条件(2) のみを加えて考えてみる。 「各位の数の和が9 の倍数」であるので、以下の値がが9 の倍数となる。 5 + 4 + A + 2 = 11 + A (1.43) A は0 から9 の整数。11 + 0(= 11)  11 + A  11 + 9(= 20) が9 の倍数となるためには A = 7 と分かり、質問文に解答するのに、条件(2) のみで十分。 よって、答えは(B)。

 

 

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