【数学基礎講座】連続する数

GMAT数学基礎コーナーでは、単元別のポイントを例題を交えてまとめていきます。

受験生のみなさまが効率良くポイントで復習できることを目指しています。

本コーナーは全部終了後書籍化予定です。今回は「連続する数」問題の解き方です。

連続する数問題の解説

1.1 連続する数(Consecutive Numbers) 連続する数の英語表現 consecutive integers: 連続する整数(e.g. 3; 4; 5; 6) consecutive odds: 連続する奇数(e.g. 3; 5; 7; 9) consecutive evens: 連続する偶数(e.g. 4; 6; 8; 10) consecutive prime numbers: 連続する素数(e.g. 5; 7; 11; 13) consecutive multiple of a: 連続するa の倍数(e.g. a = 5 の時、5; 10; 15; 20) 注意 「x; y, and z are consecutive integers」という表現がGMAT で出題された場合には、x; y; z の順番 については言及されていないことに注意する。 順番について言及する場合の表現は以下のようになる。 x < y < z と小さいもの順: ascending order またはincreasing order x > y > z と大きいもの順: descending order またはdecreasing order 連続する数の差 連続する整数、連続する奇数、連続する偶数、連続するa の倍数については、差を計算するこ とができる。 具体例 もし、x; y; z がx < y < z を満たす連続する整数である時、y  x = z  x = 1; z  x = 2 が成立。 同様に、x; y; z がx < y < z を満たす連続する偶数である時、y x = z x = 2; z x = 4 が成立。 連続する整数の積 連続するn 個の整数の積はn 以下の全整数で割り切れる。 解説 k  n とした時、連続するn 個の整数の中には、少なくともk の倍数が1 つ含まれるので、本主張 は明らか。 1.1 連続する数(Consecutive Numbers) 7 具体例 連続する2 つの整数の積は2 で割り切れる。 連続する3 つの整数の積は2, 3 で割り切れる。 連続する4 つの整数の積は2, 3, 4 で割り切れる。=) 2  3  4 = 24 で割り切れる。 連続する5 つの整数の積は2, 3, 4, 5 で割り切れる。=) 2  3  4  5 = 120 で割り切れる。 発展 連続するn 個の正の整数の積はn! の倍数となるというのは以下の式より明らか。 mCn = m! n!(m  n)! = m(m  1)(m  2)    (m  n + 1) m! = (整数) (∵ 組み合わせの数は整数) m(m  1)(m  2)    (m  n + 1) | {z } 連続するn 個の正の整数の積 = (整数)  m! (1.3) 連続する偶数の積 連続する2 つの偶数の積の倍数は8 の倍数になる。 解説 連続する2 つの偶数のどちらか片方は4 の倍数で、もう片方は2 の倍数であることを踏まえると、本 主張は明らか。 連続する数の平均値と中央値 連続する整数、連続する奇数、連続する偶数、連続するa の倍数については、平均値(average) と中央値(median) は等しくなる。 具体例 連続する奇数3; 5; 7; 9; 11; 13 を考える。 平均値は、 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 6 = 8 となる。 また、6 個の数の中央値は小さい方から3 つ目の値と4 つ目の値の平均で、 7 + 9 2 = 8 となる。 よって、平均値と中央値が等しいことが確かめられた。これは、連続する数が等間隔に並んでいるこ とを考えると明らかである。

連続する数の実際のGMAT問題

連続する数-基礎問題1 (PS問題)  If x; y; z are three consecutive odd integers and if x > y > z, then x(x  y)  z(x  y) = (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 12 (E) 16   1.1 連続する数(Consecutive Numbers) 9 連続する数-基礎問題1 (PS問題)  x; y; z が、3 つの連続する奇数であり、かつx > y > z である場合、x(x  y)  z(x  y) = は いくつになるか? (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 12 (E) 16   ポイント 基礎事項のまとめにある「連続する数の差」を理解しているかどうかの確認。 解説 x; y; z は3 つの連続する奇数で、x > y > z であるので、以下の2 つの式が成立する。 x  y = 2 y  z = 2 x  z = 4 (1.4) これを利用して、問題文の式を解くと以下のようになる。 x(x  y)  z(x  y) = (x  y)(x  z) = 2  4 = 8 (1.5) よって、答えは(C) となる。 補足 上の解答のように、問題文の式を因数分解することが難しい場合は、x; y; z のうち、起点となる文字 を1 つ決めて、問題文の式に代入すればよい。 例えば、z を起点とすると、以下の2 つの式が成立する。 x = z + 4 y = z + 2 (1.6) これを、問題文の式に代入して解くと以下のようになる。 x(x  y)  z(x  y) = (z + 4)((z + 4)  (z + 2))  z((z + 4)  (z + 2)) = (z + 4)  2  z  2 = 2z + 8  2z = 8 (1.7) 連続する数-基礎問題2 (PS問題)  A sequence consists of 10 consecutive even integers written in increasing order. The sum of rst 5 of these even integers is 90. What is the sum of the last 5 of the even integers? (A) 100 (B) 110 (C) 120 (D) 130 (E) 140   1.1 連続する数(Consecutive Numbers) 11 連続する数-基礎問題2 (PS問題)  小さい順で書かれた10 個の連続する偶数がある。前半の5 つの偶数の合計は90 である。後半 の5 つの偶数の合計はいくつになるか? (A) 100 (B) 110 (C) 120 (D) 130 (E) 140   ポイント 基礎事項のまとめにある「連続する数の差」を理解し、具体的な式を立てる事ができるか。 解説 10 個の連続する偶数を小さいものから、x1; x2; x3;    ; x10 と置く。 問題文で、x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 90 が与えられており、求める値はx6 + x7 + x8 + x9 + x10 で あるので、下の図のように数字を対応させる。 ここで、各文字の間隔を求めるために、連続する偶数は、2 の間隔で並んでいることを用いている。 すると、以下のように式を展開できる。 x6 + x7 + x8 + x9 + x10 = (x1 + 10) + (x2 + 10) + (x3 + 10) + (x4 + 10) + (x5 + 10) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + 50 = 90 + 50 = 140 (1.8) よって、答えは(E) となる。 補足 上のように数字を対応させるのに気づかない場合は、10 個の数字を求める事となる。 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = x1 + (x1 + 2) + (x1 + 4) + (x1 + 6) + (x1 + 8) = 5x1 + 20 = 90 () 5x1 = 70 () x1 = 14 (1.9) 上記の式より、x1; x2; x3;    ; x10 は、14; 16; 18;    ; 32 となる。よって、x6; x7; x8; x9; x10 は 24; 26; 28; 30; 32 なので、 x6 + x7 + x8 + x9 + x10 = 24 + 26 + 28 + 30 + 32 = 140 (1.10) と計算することができる。 連続する数-基礎問題3 (PS問題)  If x is an odd integer, then x2  9 must be divisible by (A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 8 (E) 16   連続する数-基礎問題3 (PS問題)  x が奇数であるとき、x2  9 は次のうちどれで割り切れるべきか? (A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 8 (E) 16   ポイント 基礎事項のまとめにある「連続する偶数の積」を理解できているかどうかを確認。 解説 x は奇数なので、x = 2k + 1(k は整数) と表すことができる。すると、問題文の式を以下のように変 形することができる。 x2  9 = (x  3)(x + 3) = (2k + 1  3)(2k + 1 + 3) = (2k  2)(2k + 4) = 4(k  1)(k + 2) (1.11) ここで、k  1 とk + 2 の数の間隔は3 であるので、k  1 とk + 2 のどちらかは2 の倍数となる。 よって、4(k  1)(k + 2) は8 の倍数とならなければならないので、答えは(D) となる。 14 第1 章計算 連続する数-応用問題1 (DS問題)  If x; y; and z are three integers, are they consecutive integers? (1) 43 < x < y < z < 49 (2) None of the three integers are multiple of 4.   1.1 連続する数(Consecutive Numbers) 15 連続する数-応用問題1 (DS問題)  x; y; z が整数であるとき、連続する数であるか? (1) 43 < x < y < z < 49 (2) いずれの整数も4 の倍数ではない。   ポイント 4 の倍数を含まないということは、x; y; z が実際にどのような値を取りうるか? 解説 (ステップ1) 質問文に条件(1) のみを加えて考えてみる。 43 < x < y < z < 49 という条件のみでは、例えば、(x; y; z) = (44; 45; 46) とx; y; z は連続 する整数か、(x; y; z) = (44; 45; 47) とx; y; z は連続する整数でないかを判断できない。 よって、質問文に解答するのに、条件(1) のみでは不十分。 (ステップ2) 質問文に条件(2) のみを加えて考えてみる。 x; y; z のどれも4 の倍数でないという条件のみでは、例えば、(x; y; z) = (1; 2; 3) とx; y; z は 連続する整数か、(x; y; z) = (1; 2; 5) とx; y; z は連続する整数でないかを判断できない。 よって、質問文に解答するのに、条件(2) のみでは不十分。 (ステップ3) 質問文に条件(1) と(2) を両方加えて考えてみる。 43 < x < y < z < 49 の範囲に存在する4 の倍数は、44, 48 であるので、43 < x < y < z < 49 かつx; y; z は4 の倍数でない整数という条件より、45  x < y < z  47 となる。 すると、(x; y; z) = (45; 46; 47) しか取り得ないので、連続する整数であるということができ、 質問文に解答するのに、条件(1), (2) の両方が揃った場合には十分であるといえる。 よって、答えは(C)。 連続する数-応用問題2 (DS問題)  If x and y are consecutive odd integers, is x greater than y? (1) x and y are prime. (2) 5 < x < 13  1.1 連続する数(Consecutive Numbers) 17 連続する数-応用問題2 (DS問題)  x とy が連続する奇数であるとき、x はy よりも大きいか? (1) x とy は素数である。 (2) 5 < x < 13   ポイント 題意を正確に把握し、連続する2 つの奇数が素数である場合を考えられるか? 解説 (ステップ1) 質問文に条件(1) のみを加えて考えてみる。 x; y が連続する奇数の素数という条件のみでは、例えば、(x; y) = (5; 7) とx < y であるのか、 (x; y) = (7; 5) とx > y であるのか、x とy の大小関係を判断できない。 よって、質問文に解答するのに、条件(1) のみでは不十分。 (ステップ2) 質問文に条件(2) のみを加えて考えてみる。 5 < x < 13 でx; y が連続する奇数という条件のみで、大小関係に関する情報が無い。 よって、質問文に解答するのに、条件(2) のみでは不十分。 (ステップ3) 質問文に条件(1) と(2) を両方加えて考えてみる。 5 < x < 13 という条件があるので、まず、x について考えてみる。5 < x < 13 の範囲の素数 は7; 11 の2 つあるので、x はこれらのどちらかであるということができる。よって、以下の ように場合分けをして考える。 1 ⃝ x = 7 の時 x = 7 と連続する奇数5; 9 の2 つの整数うち、素数は5 のみであるのでy = 5 となる。よっ て、x > y である。 2 ⃝ x = 11 の時 x = 11 と連続する奇数9; 13 の2 つの整数うち、素数は13 のみであるのでy = 13 となる。 よって、x < y である。 以上より、x > y なのかx < y なのかを断定することができないので、質問文に解答するの に、条件(1), (2) の両方が揃った場合でも不十分であるといえる。 よって、答えは(E)。連続する数-応用問題3 (DS問題)  The sum of n consecutive positive integers is 45. What is the value of n? (1) n is even. (2) n < 9  連続する数-応用問題3 (DS問題)  n 個の連続する正の整数の合計は45 である。n の値はいくつになるか? (1) n は偶数である。 (2) n < 9   ポイント 連続する整数の和を等差数列の公式を用いて表すことができるか? 解説 n 個の正の整数をx; x+1; x+2;    ; x+n1 と置くと、等差数列の公式より以下の式が成立する。 x + (x + n  1) 2  n = 45 () (2x + n  1)n = 90 = 2  32  5 (1.12) (ステップ1) 質問文に条件(1) のみを加えて考えてみる。 (2x + n  1)n = 2  32  5 で、n は偶数であるので、例えばn = 2; 6 の場合を考えてみる。 1 ⃝ n = 2 の場合 (2x + n  1) | {z } 325 |{nz} 2 = 2  32  5 =) 2x + n  1 = 2x + 2  1 = 45 () x = 22 つまり、2 つの連続する正の整数22; 23 の和が45 となる。 2 ⃝ n = 6 の場合 (2x + n  1) | {z } 35 |{nz} 23 = 2  32  5 =) 2x + n  1 = 2x + 6  1 = 15 () x = 5 つまり、6 つの連続する正の整数5; 6; 7; 8; 9; 10 の和が45 となる。 n の値を1 つに定めることはできず、質問文に解答するのに、条件(1) のみでは不十分。 (ステップ2) 質問文に条件(2) のみを加えて考えてみる。 条件(1) のみを加えて考えたn = 2; 6 は条件(2) のn < 9 を満たす。 よって、条件(1) のみを加えて考えた場合と同様n = 2; 6 を取りうるので、質問文に解答する のに、条件(2) のみでは不十分。 (ステップ3) 質問文に条件(1) と(2) を両方加えて考えてみる。 条件(1) のみを加えて考えたn = 2; 6 は条件(1) と(2) の両方を満たしn < 9 の偶数である。 よって、条件(1) のみを加えて考えた場合と同様n = 2; 6 を取りうるので、質問文に解答する のに、条件(1), (2) の両方が揃った場合でも不十分であるといえる。 よって、答えは(E)。連続する数-応用問題4 (DS問題)  Are x; y; and z consective integers? (1) The remainder when x + y + z is divided by 3 is 1. (2) The remainder when xyz is divided by 3 is 1.  1.1 連続する数(Consecutive Numbers) 21 連続する数-応用問題4 (DS問題)  x; y; z は連続する数か? (1) x + y + z を3 で割った余は1 である。 (2) xyz を3 で割った余は1 である。   ポイント 基礎事項のまとめにある「連続する整数の積」を理解できているかどうかを確認。 Data Sufficiency の問題を理解しているかどうかの確認。 解説 (ステップ1) 質問文に条件(1) のみを加えて考えてみる。 x; y; z が連続する整数であるとすると、これらの3 つの整数はn; n + 1; n + 2 と置け、和を以 下の様に表すことができる。 x + y + z = n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1) (1.13) よって、x + y + z は必ず3 で割り切れる。ここで、条件(1) はx + y + z は3 で割ると余り が1 であると言っているので、この場合x; y; z は連続する整数で無いと断定できる。 よって、質問文にNo と答える事ができるので、質問文に解答するのに、条件(1) のみで十分。 (ステップ2) 質問文に条件(2) のみを加えて考えてみる。 基礎事項のまとめにある「連続する整数の積」より、3 つの連続する整数の積は、必ず3 で割 り切れる。ここで、条件(2) はxyz は3 で割ると余りが1 であると言っているので、この場 合x; y; z は連続する整数で無いと断定する事ができる。 よって、質問文にNo と答える事ができるので、質問文に解答するのに、条件(2) のみで十分。 よって、答えは(D)。

 

 

 

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