【GMAT数学基礎講座】偶数・奇数

GMAT数学基礎コーナーでは、単元別のポイントを例題を交えてまとめていきます。

受験生のみなさまが効率良くポイントで復習できることを目指しています。

本コーナーは全部終了後書籍化予定です。今回は「偶数・奇数」問題の解き方です。

偶数・奇数問題の解説

1.3 偶数・奇数(Evens/Odds) 25 1.3 偶数・奇数(Evens/Odds) 偶数・奇数とは 2 で割り切れる整数のことを偶数(even number) と言い、 2 で割り切れない整数のことを奇数(odd number) と言う。 偶数・奇数の演算 偶数・奇数の和・差・積については、瞬時に思い浮かべることが出来るように訓練すること。 1. 和・差 偶 偶= 偶、偶 奇= 奇 奇 偶= 奇、奇 奇= 偶 2. 積 偶 偶= 偶、偶 奇= 偶 奇 偶= 偶、奇 奇= 奇 GMATによく出る偶数・奇数の性質  掛け算の中に一つでも偶数があれば、その積は偶数。  掛け算の中がすべて奇数の時のみ、その積は奇数。  ある整数のn 乗が偶数なら、その整数は偶数。  ある整数のn 乗が奇数なら、その整数は奇数。 偶数・奇数の文字式での表現法 偶数や奇数を文字式で表す必要がある場合は、以下のように置けばよい。 { 偶数: 2k 奇数: 2k + 1

偶数・奇数の確認問題

26 第1 章計算 偶数・奇数-確認問題1  If x is even and y is odd, determine whether each of the following is even, odd, or undeter- mined: (A) xy + x (B) y  x (C) x2  y2   偶数・奇数-確認問題2  If both x and y are even, determine whether each of the following is even, odd, or undeter- mined: (A) xy  x (B) xy 2 (C) 5y + x (D) xy 4   偶数・奇数-確認問題3  If both x and y are odd, determine whether each of the following is even, odd, or undeter- mined: (A) x  xy (B) x3 + y3 (C) x + y + xy   偶数・奇数-確認問題4  If x is even and y is an integer, determine whether each of the following is even, odd, or undetermined: (A) 2(x + 3y) (B) 5(x  y) (C) 5x  4y (D) 4x  5y   1.3 偶数・奇数(Evens/Odds) 27 偶数・奇数-確認問題1  x が偶数、y が奇数である場合、次の各選択肢は、偶数か、奇数か、決めることが出来ないか、 選びなさい。 (A) xy + x (B) y  x (C) x2  y2   解説 (A) 偶 奇+ 偶= 偶+ 偶= 偶より、偶数。 (B) 奇 偶= 奇より、奇数。 (C) 偶2  奇2 = 偶 奇= 奇より、奇数。(1.14) 偶数・奇数-確認問題2  x とy のどちらも偶数である場合、次の各選択肢は、偶数か、奇数か、決めることが出来ない か、選びなさい。 (A) xy  x (B) xy 2 (C) 5y + x (D) xy 4   解説 偶数・奇数のどちらの可能性もあるものを整数の「整」と表すこととする。 (A) 偶 偶 偶= 偶 偶= 偶より、偶数。 (B) x 2 y = 偶 2  偶= 整 偶= 偶より、偶数。 (C) 奇 偶+ 偶= 偶 偶= 偶より、偶数。 (D) x 2  y 2 = 偶 2  偶 2 = 整 整= 整より、決める事が出来ない。(1.15) 28 第1 章計算 偶数・奇数-確認問題3  x とy のどちらも奇数である場合、次の各選択肢は、偶数か、奇数か、決めることが出来ない か、選びなさい。 (A) x  xy (B) x3 + y3 (C) x + y + xy   解説 (A) 奇 奇 奇= 奇 奇= 偶より、偶数。 (B) 奇3 + 奇3 = 奇+奇= 偶より、偶数。 (C) 奇+ 奇+ 奇 奇= 奇+ 奇+ 奇= 奇より、奇数。(1.16) 偶数・奇数-確認問題4  x が偶数、y が整数である場合、次の各選択肢は、偶数か、奇数か、決めることが出来ないか、 選びなさい。 (A) 2(x + 3y) (B) 5(x  y) (C) 5x  4y (D) 4x  5y   解説 (A) 偶 (偶+ 奇 整) = 偶 (偶+ 整) = 偶 整= 偶数より、偶数 (B) 奇 (偶 整) = 奇 整= 整より、決める事が出来ない。 (C) 奇 偶 偶 整= 偶 偶= 偶より、偶数。 (D) 偶 偶 奇 整= 偶 整= 整より、決める事が出来ない。(1.17)

偶数・奇数の実際のGMAT問題

1.3 偶数・奇数(Evens/Odds) 29 偶数・奇数-基礎問題1 (PS問題)  If x; y; z are integers and xz  yz is odd, which of the following must be odd? (A) x (B) y (C) z (D) xz (E) yz   30 第1 章計算 偶数・奇数-基礎問題1 (PS問題)  x; y; z が整数、かつxz  yz が奇数であるとき、次の選択肢のうち、必ず奇数になるものはど れか? (A) x (B) y (C) z (D) xz (E) yz   ポイント 基礎事項のまとめにある「GMAT によく出る偶数・奇数の性質」の「掛け算の中がすべて奇数の時 のみ、その積は奇数。」を理解しているかどうかの確認。 解説 xz  yz = z(x  y) (1.18) が奇数となるためには、z が奇数かつx  y が奇数であることが必要である。 よって、z は必ず奇数とならなければならないので、答えは(C) となる。 補足 他の選択肢が、答えにならない事を確認しておこう。 xz yz が奇数となるためには、z が奇数かつxy が奇数となればよい。xy が奇数となる組み合 わせは、(x; y) = (偶; 奇) または(偶; 奇)。よって、x; y は奇数も偶数も取りうるので、選択肢(A)、 (B) は答えとなりえない。 また、z が奇数でx は奇数も偶数も取りうるので、xz は偶数も奇数も取りうるので、選択肢(D) は 答えとなりえない。 同様に、z が奇数でy は奇数も偶数も取りうるので、yz は偶数も奇数も取りうるので、選択肢(E) は 答えとなりえない。 1.3 偶数・奇数(Evens/Odds) 31 偶数・奇数-基礎問題2 (DS問題)  Is s an even integer? (1) s2 is an even integer. (2) p s is an even integer.   32 第1 章計算 偶数・奇数-基礎問題2 (DS問題)  s は、偶数の整数か? (1) s2 が偶数の整数である。 (2) p s が偶数の整数である。   ポイント 基礎事項のまとめにある「偶数・奇数の演算」を理解できているかどうかの確認。 DS 問題の「Yes/No」問題では、質問文に対しYes となるかを問うているのではなく、あくまで 「Yes/No」と答えるのに条件は十分かどうかを問うているということを理解しているかどうか。 解説 (ステップ1) 質問文に条件(1) のみを加えて考えてみる。 例えばs2 = 2 とすると、s =  p 2 となるので、s は偶数の整数とは言えない。 一方、s2 = 4 とすると、s = 2 となるので、s は偶数の整数となる。 s は偶数の整数かどうか分からないので、質問文に解答するのに、条件(1) のみでは不十分。 (ステップ2) 質問文に条件(2) のみを加えて考えてみる。 p s = 偶=) s = 偶2 = 偶(1.19) 上記の式より、s は必ず偶数となることが分かる。 よって、質問文に解答するのに、条件(2) のみで十分。 よって、答えは(B)。 1.3 偶数・奇数(Evens/Odds) 33 偶数・奇数-基礎問題3 (DS問題)  If r is an integer, is r odd? (1) 2r + 1 is an odd integer. (2) r 2 is an even integer.   34 第1 章計算 偶数・奇数-基礎問題3 (DS問題)  r が整数であるとき, r は奇数か? (1) 2r + 1 が奇数の整数である。 (2) r 2 が偶数の整数である。   ポイント 基礎事項のまとめにある「GMAT によく出る偶数・奇数の性質」を理解できているかどうかの確認。 解説 偶数・奇数のどちらの可能性もあるものを整数の「整」と表すこととする。 (ステップ1) 質問文に条件(1) のみを加えて考えてみる。 2r + 1 = 奇() 2r = 奇 1 = 偶=) r = 偶 2 = 整(1.20) r は偶数か奇数かを判断できないので、質問文に解答するのに、条件(1) のみでは不十分。 (ステップ2) 質問文に条件(2) のみを加えて考えてみる。 r 2 = 偶=) r = 2  偶= 偶(1.21) r は偶数となるので、「r は奇数か?」という質問文に対して、必ず「No」と答えることが出来 るので、質問文に解答するのに、条件(2) のみで十分。 よって、答えは(B)。 偶数・奇数(Evens/Odds) 35 偶数・奇数-応用問題1 (PS問題)  If the positive integer p is odd and the positive integer q is prime, then pq CANNOT be a multiple of which of the following? I. 9 II. 16 III. 18 (A) I only (B) II only (C) I and II only (D) II and III only (E) I, II, and III   36 第1 章計算 偶数・奇数-応用問題1 (PS問題)  正の整数であるp は奇数であり、正の整数であるq が素数であるとき、積pq は次のどの選択肢 とあり得ないか? I. 9 II. 16 III. 18 (A) I のみ(B) II のみ(C) I とII のみ(D) II とIII のみ(E) I とII とIII   ポイント 偶数・奇数と素数の複合問題。 また、「CANNOT be」問題なので、p(= 奇数) とq(= 素数) の積で表すことが出来ない数字を選択 肢から選ぶという、問題パターンを理解しているかどうかの確認。 解説 各選択肢の数字を素因数分解した時、q がこの1 つの因数にならなければならないことを利用する。  I について 9 = 32 (1.22) 素数q は必ず3 となる。そして、p = 3 が奇数となり、選択肢I はあり得る。  II について 16 = 24 (1.23) 素数q は必ず2 となる。そして、p = 23 が偶数となり、選択肢II はあり得ない。  III について 18 = 2  32 (1.24) 素数q は2 またか3。q = 3 するとp = 6 と偶数となるが、q = 2 するとp = 9 と奇数となる ので、後者により選択肢III は取りうることが分かる。 以上より、p(= 奇数) とq(= 素数) の積で表すことが出来ないのは選択肢II のみ。 答えは(B) となる。 1.3 偶数・奇数(Evens/Odds) 37 偶数・奇数-応用問題2 (PS問題)  If x and y are integers and x2 + y2 is odd, which of the following must be odd? (A) x (B) y (C) x + y (D) xy (E) xy + x   38 第1 章計算 偶数・奇数-応用問題2 (PS問題)  x とy が整数、かつx2 + y2 が奇数の場合、次の選択肢のうち必ず奇数であるものはどれか? (A) x (B) y (C) x + y (D) xy (E) xy + x   ポイント x; y の全ての組み合わせを考えられるかどうかがポイント。 基礎事項のまとめにある「GMAT によく出る偶数・奇数の性質」を理解しているかどうかの確認。 解説 (x; y) の組み合わせは、(偶; 偶)、(偶; 奇)、(奇; 偶)、(奇; 奇) のいずれかである。 この中で、x2 + y2 が奇数となる組み合わせを考えてみる。 (x; y) = (偶; 偶) =) x2 + y2 = 偶2 + 偶2 = 偶となるので、ダメ。 (x; y) = (偶; 奇) =) x2 + y2 = 偶2 + 奇2 = 奇となるので、OK。 (x; y) = (奇; 偶) =) x2 + y2 = 奇2 + 偶2 = 奇となるので、OK。 (x; y) = (奇; 奇) =) x2 + y2 = 奇2 + 奇2 = 偶となるので、ダメ。(1.25) 上の組み合わせより、(x; y) の組み合わせは、(偶; 奇) または(奇; 偶) となる。 このどちらの組み合わせでも奇数となる選択肢を求めればよい。 (A) (x; y) = (偶; 奇) の時、x は偶数となるので、ダメ。 (B) (x; y) = (奇; 偶) の時、y は偶数となるので、ダメ。 (C) (x; y) = (偶; 奇)、(偶; 奇) のいずれの時もx + y は奇数となるので、OK。 (D) (x; y) = (偶; 奇)、(偶; 奇) のいずれの時もxy は偶数となるので、ダメ。 (E) (x; y) = (偶; 奇) の時、xy + x は偶数となるので、ダメ。(1.26) よって、(x; y) が(偶; 奇) または(奇; 偶) のいずれの時も奇数となるのは、選択肢(C) のみ。

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