【数学基礎講座】余り

GMAT数学基礎コーナーでは、単元別のポイントを例題を交えてまとめていきます。

受験生のみなさまが効率良くポイントで復習できることを目指しています。

本コーナーは全部終了後書籍化予定です。今回は「余り」問題の解き方です。

余り問題の解説

1.2 余り(Remainders) 除法の原理 ある整数x をa で割った時の商(quotient) をb、余り(remainder) をc とすると、以下のよう な関係が成立し、これを除法の原理という。 x  a = b 余りc x = ab + c (1.14) また、これを分数、小数で表したときは以下の様になる。 分数表現:x  a = b c a (1.15) 小数表現:x  a = b:XY Z ここで、0:XY Z  a = c が成立する。(1.16) 余りと約数の利用 a を割るとb 余るというタイプの問題は以下の2 パターンを覚えておこう。 1. a を割るとb 余る数。 =)a  b の約数のうちb より大きい数。 2. a を割るとb 余り、c を割るとd 余る数。 =)a  b とc  d の公約数のうちb; d より大きい数。 具体例 1. 50 を割ると5 余る数。 45(= 50  5) を割り切る数で、余り(=5) より大きい数。 45 の約数1; 3; 5; 9; 15; 45 のうち、5 より大きい数。 () 9; 15; 45 2. 23 を割ると3 余り、85 を割ると5 余る数。 () 20(= 23  3) と80(= 85  5) を割り切る数で、3; 5 より大きい数。 =) 20 と80 の公約数1; 2; 4; 5; 10; 20 のうち、5 より大きい数。 () 10; 20 余りと倍数の利用 a で割るとb 余り、c で割るとd 余る数を解くパターンは以下の3 つある。 1. 余りが同じ、つまりb = d のパターン。 =)a とc の公倍数にb(= d) を加えた数。 2. 割る数と余りの差が同じ、つまりa  b = c  d のパターン。 =)a とc の公倍数からa  b(= c  d) を引いた数。 3. 上に該当しないパターン。 =)条件にあてはまる数を探し、これらにa とc の公倍数を加減した数。 具体例 1. 12 で割っても16 で割っても5 余る数。 =) 12 と16 の公倍数は12 でも16 でも割り切れるのでこれに5 を加えればよい。 =) 48  0 + 5; 48  1 + 5; 48  2 + 5; 48  3 + 5;    () 5; 53; 101; 149;    2. 5 で割ると3 余り、7 で割ると5 余る数。 () 5 の倍数には2(= 5  3) 足りず、7 の倍数には2(= 7  5) 足りない数。 =) 5 と7 の公倍数は5 でも7 でも割り切れるのでこれから2 を引けばよい。 =) 35  1  2; 35  2  2; 35  3  2; 35  4  2;    () 33; 68; 103; 138;    3. 4 で割ると1 余り、7 で割ると3 余る数。 =) 4 で割ると 1 余る数:1; 5; 9; 13;⃝17 ; 21;    7 で割ると 3 余る数:3; 10;⃝17 ; 24;    =) 17 に4 でも7 でも割り切れる数を加減したもの。 =) 28  0 + 17; 28  1 + 17; 28  2 + 17; 28  3 + 17;    () 17; 45; 73; 101;   

余りの確認問題

余り-確認問題1  If m n = 9:12 and m and n are integers, what are the three smallest possible remainders when m is divided by n?   余り-確認問題2  When 18 is divided by x, the remainder is 2. When 27 is divided by x, the remainder is 3. What are the possible value of x?   偶数・奇数-確認問題3  If n is less than 100, what are the possible positive integers n if ... (A) When n is divided by 15, the remainder is 4. (B) When n is divided by 12, the remainder is 3. Moreover, when n is divided by 18, the remainder is 9. (C) When n is divided by 9, the remainder is 8. Moreover, when n is divided by 15, the remainder is 5. (D) When n is divided by 12, the remainder is 4. Moreover, when n is divided by 9, the remainder is 4.   余り-確認問題1  m n = 9:12 かつm とn が整数であるとき、m をn で割った場合に取りうる最も小さい余り3 つは何か?   解説 基礎事項のまとめにある「除法の原理」を使う。 m n = 9:12 = 9 12 100 = 9 3 25 (1.17) より、m をn で割った時の余りは、 3 25  n (1.18) という形で表すことができる。よって、これが正の整数となるようなn は小さい順に25; 50; 75;    となる。よって、m をn で割った時の余りは、小さい順に3; 6; 9 となる。 余り-確認問題2  18 をx で割った余りは2、27 をx で割った余りは3 である。x の取りうる値は何か?   解説 基礎事項のまとめにある「余りと約数の利用」の2. のパターンに相当。 16(= 18  2) と24(= 27  3) はx で割り切れるので、x は16 と24 の公約数。 16 と24 の公約数は、1; 2; 4; 8 であるが、18 をx で割った時の余りが2、27 をx で割った時の余り が3 であるので、x は3 より大きくなくてはならない。 よって、x の取りうる値は4; 8 の2 つである。 余り-確認問題3  n が100 よりも小さいとき、下記の場合にn の値は,,, (A) n を15 で割った場合の余りは4 である。 (B) n を12 で割った場合の余りは3 である。さらにn を18 で割った場合の余りは9 である。 (C) n を9 で割った場合の余りは8 である。さらにn を15 で割った場合の余りは5 である。 (D) n を1 で割った場合の余りは4 である。さらにn を9 で割った場合の余りは4 である。   解説 (A) n は15 の倍数に4 を加えたものである。 そして、100 以下という条件より、n = 4; 19; 34; 49; 64; 79; 94 の7 つが答えとなる。 (B)「余りと倍数の利用」の2 のパターンに相当。 n は12 の倍数には9(= 12  3) 足りず、18 の倍数には9(= 18  9) 足りないので、 12 と18 の公倍数から9 を引いたもの。 よって、n = 36  1  9; 36  2  9; 36  3  9 が題意を満たす。 つまり、n = 27; 63; 99 の3 つが答えとなる。 (C)「余りと倍数の利用」の3 のパターンに相当。 9 で割ると 8 余る数は、8; 17; 26;⃝35 ; 44;   であり、 15 で割ると 5 余る数は、5; 20;⃝35 ; 50;   であるので、 n は35 に9 と15 の公約数を加減したもの。 よって、n = 35; 80 の2 つが答えとなる。 (D)「余りと倍数の利用」の1 のパターンに相当。 n は、12 で割っても、9 で割っても4 余る数であるので、 n は12 と9 の公倍数に4 を加えた数。 よって、n = 36  0 + 4; 36  1 + 4; 36  2 + 4 が題意を満たす。 つまり、n = 4; 40; 76 の3 つが答えとなる。

余りの実際のGMAT問題

余り-基礎問題1 (PS問題)  When positive integer x is divided by positive integer y, the remainder is 9. If x y = 96:12, what is the value of y? (A) 96 (B) 75 (C) 48 (D) 25 (E) 12   余り-基礎問題1 (PS問題)  正の整数x を正の整数y で割った余は9 である。 x y = 96:12 であるとき、y の値は何か? (A) 96 (B) 75 (C) 48 (D) 25 (E) 12   ポイント 基礎事項のまとめにある「除法の原理」を理解しているかどうかの確認。 解説 x y = 96:12 であるので、x をy で割った時の商が96、余りが0:12  y である。 この余りが9 と等しくなることを以下のように定式化する事で、y を計算できる。 0:12y = 9 () y = 9  100 12 = 9  100 3  4 = 3  25 = 75 (1.20) よって、答えは(B) となる。 余り-基礎問題2 (DS問題)  Is n even? (1) When n is divided by 6, the remainder is odd. (2) When n is divided by 5, the remainder is odd.   余り-基礎問題2 (DS問題)  n は奇数であるか? (1) n を6 で割った余が奇数である。 (2) n を5 で割った余が奇数である。   ポイント 基礎事項のまとめにある「除法の原理」を理解しているかどうかの確認。 解説 (ステップ1) 質問文に条件(1) のみを加えて考えてみる。 除法の原理より、以下の式が成立する。 n = 6m + 奇数= 偶数+ 奇数= 奇数(1.21) よって、n は奇数であるといえるので、質問文に解答するのに、条件(1) のみで十分。 (ステップ2) 質問文に条件(2) のみを加えて考えてみる。 除法の原理より、以下の式が成立する。 n = 5m ′ + 奇数= 整数+ 奇数= 整数(1.22) ここで、「m′ が偶数なら5m′ は偶数、m′ が奇数なら5m′ は奇数」と偶数と奇数の両方を取り えるので「整数」と式の中で表している。 よって、n は偶数か奇数かを定める事ができないので、質問文に解答するのに、条件(2) のみ では不十分。 よって、答えは(A) となる。 1.2 余り(Remainders) 31 余り-応用問題1 (DS問題)  When the positive integer n is divided by 7, the remainder is 4. What is the value of n? (1) n < 75 (2) When n is divided by 5, the remainder is 2.   余り-応用問題1 (DS問題)  正の整数n を7 で割った余は4 である。n の値は何か? (1) n < 75 (2) n を5  で割った余は2 である。   ポイント 基礎事項のまとめにある「余りと倍数の利用」を理解しているかどうかの確認。 解説 (ステップ1) 質問文に条件(1) のみを加えて考えてみる。 7 で割ると4 余る数は、7 の倍数に4 加えたものであるので、 n = 7  0 + 4; 7  1 + 4; 7  2 + 4; 7  3 + 4;    となる。 つまり、n = 4; 11; 18; 25;    である。 よって、n < 75 という条件のみではn の値は1 つに定まらないので、質問文に解答するのに、 条件(1) のみでは不十分。 (ステップ2) 質問文に条件(2) のみを加えて考えてみる。 「余りと倍数の利用」の3 のパターンに相当。 7 で割ると 4 余る数は、4; 11; 18; 25;⃝32 ; 39;    である。 また、5 で割ると 2 余る数は、2; 7; 12; 17; 22; 27;⃝32 ; 37;    である。 すると、質問文と条件(2) を満たすn は32 に7 と5 の公倍数を加減した数であるので、 n = 32; 32 + 35; 32 + 35  2; 32 + 35  3;    となる。 よって、n の値は1 つに定まらないので、質問文に解答するのに、条件(2) のみでは不十分。 (ステップ3) 質問文に条件(1) と(2) を両方加えて考えてみる。 上の条件(2) のみを加えて考えた場合より、n = 32; 32 + 35; 32 + 35  2; 32 + 35  3;    を 満たすn < 75 の数である。この2 つの条件を満たす整数は、n = 32; 67 の2 つが存在するの で、質問文に解答するのに、条件(1), (2) の両方が揃った場合でも不十分であるといえる。 よって、答えは(E) となる。 余り-応用問題2 (DS問題)  If m and n are positive integers, what is the remainder when m is divided by n? (1) n < 50 (2) m n = 20:64   余り-応用問題2 (DS問題)  m とn が正の整数であるとき、m をn で割った余は何か? (1) n < 50 (2) m n = 20:64   ポイント 基礎事項のまとめにある「除法の原理」を理解しているかどうかの確認。 解説 (ステップ1) 質問文に条件(1) のみを加えて考えてみる。 n < 50 という条件だけで、m; n は自由に値を決める事ができるので、例えばn = 49 とする とm をn で割った時の余りは、0 から48 までの値を取りうる。 よって、n < 50 という条件のみではn の値は1 つに定まらないので、質問文に解答するのに、 条件(1) のみでは不十分。 (ステップ2) 質問文に条件(2) のみを加えて考えてみる。 m n = 20:64 = 20 64 100 = 20 16 25 (1.23) であるので、m をn で割った時の余りは、以下の式で表される。 16 25  n (1.24) これが、整数になるためにはn は25 の倍数であればよいので、例えば、n = 25 の時はm を n で割った時の余りは16 となるが、n = 50 の時はm をn で割った時の余りは32 となり、m をn で割った時の余りは1 つの値に定まらない。 よって、質問文に解答するのに、条件(2) のみでは不十分。 (ステップ3) 質問文に条件(1) と(2) を両方加えて考えてみる。 質問文に条件(2) のみを加えた場合より、m をn で割った時の余りは、以下の式で表される。 16 25  n (1.25) これが、整数になるためにはn は25 の倍数とならなければならないが、0 < n < 50 であるの でこれを満たすn は25 のみ。よって、m をn で割った時の余りは16 と定まるので、質問文 に解答するのに、条件(1), (2) の両方が揃った場合は十分であるといえる。 よって、答えは(C) となる。

 

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